Почему качели раскачиваются
Задача
Вспомните, как вы в детстве качались на качелях. Сначала вы просто сидели на качелях и вас кто-то раскачивал, а потом вы научились раскачиваться сами. Это можно делать двумя способами — сидя или стоя на качелях. Когда качели кто-то качает, физический механизм ясен: периодически прикладывая к качелям силу в направлении их движения, этот кто-то вызывает их ускорение и увеличивает скорость качания. А когда вы сами качаетесь стоя, вы периодически приседаете, и сила толчков прикладывается в направлении, перпендикулярном направлению движения качелей! Почему же при этом качели раскачиваются?
Если качели находятся в строго вертикальном положении, приседанием их раскачать невозможно. Рассмотрите ситуацию, когда качели уже качаются. Каково будет влияние периодического приседания в этом случае? Подумайте, в какие моменты надо приседать, а в какие надо распрямлять ноги.
Рассмотрим в качестве модели качелей маятник переменной длины. Когда качающийся приседает, его центр тяжести опускается, и длина маятника увеличивается. Когда качающийся распрямляет ноги, центр тяжести поднимается, и длина маятника уменьшается.
Пусть наш маятник уже качается с небольшой амплитудой. Мгновенно уменьшим длину маятника в момент прохождения им нижней точки. Из закона сохранения момента импульса следует, что при этом произведение скорости маятника на его длину не изменится. Таким образом, скорость маятника — и, соответственно, энергия — возрастет. Обладая большей энергией, маятник отклонится на больший угол. В момент наибольшего отклонения длину маятника можно вернуть к исходной величине. Повторяя процесс периодически, можно раскачивать маятник всё сильнее.
Можно привести и математический расчет. Пусть в нижней точке длина маятника изменяется от величины L1к величине L2 < L1. Тогда скорость маятника возрастает:v2 = v1·L1/L2. Применяя закон сохранения энергии и считая углы малыми, можно найти величины отклонений φ1 и φ2: φi = vi/(gLi)1/2, где i = 1, 2. Отсюда φ2/φ1 = (L1/L2)3/2. То есть, например, если изменять длину маятника на 10%, увеличение амплитуды составит около 15% за один проход, или около 30% за период.
Вернемся теперь от модели к исходной задаче. Становится ясно, что качели будут раскачиваться, если приседать в моменты максимального отклонения, а распрямлять ноги в момент прохода нижней точки. Для оценки рассмотрим ситуацию, когда расстояние от оси качелей до центра тяжести системы «качающийся + качели» составляет 2 метра, а приседает он так, что центр масс опускается на 20 см. Тогда, по формуле из предыдущего параграфа, раскачка происходит со скоростью около 30% за период, то есть довольно быстро.
Подумайте также над следующими вопросами. Во-первых, за счет чего происходит увеличение энергии качелей? Во-вторых, разобравшись с качанием стоя, попробуйте описать механизм качания сидя, когда качающийся сидит на качелях и периодически сгибает-разгибает ноги и перемещает туловище.
Описанное в задаче явление — частный случай так называемогопараметрического резонанса. Резонанс обычный — это раскачивание системы периодическим внешним воздействием. А резонанс параметрический — это раскачивание путем периодического изменения параметров системы. В данном случае — расстояния от оси качелей до центра тяжести качающегося, или длины маятника.
Параметрический резонанс имеет ряд отличий от обычного резонанса. Во-первых, отличаются частоты, на которых наблюдается резонанс. Так, при раскачивании внешней силой наиболее эффективным будет подталкивать качели каждый раз, когда они проходят нижнюю точку. Таким образом, частота воздействия равна собственной частоте системы. При параметрической раскачке, как мы видели, наиболее эффективно уменьшать длину маятника дважды за период. Таким образом, резонанс возникает на удвоенной собственной частоте.
Вторая особенность заключается в том, что для возникновения параметрического резонанса в системе изначально должны быть колебания. Параметрическая раскачка усиливает их амплитуду, но не способна породить колебания, если они изначально отсутствовали. На практике роль таких «затравочных» колебаний могут играть неизбежные случайные отклонения.
Параметрический резонанс используется не только при качании на качелях, но и во многих областях современной науки и техники. Широко применяются параметрические усилители слабых радиосигналов, например в радиоастрономии и радиолокации. Другой пример — сверхмощные лазеры на основе оптических параметрических усилителей. В таких лазерах относительно слабый «затравочный» сигнал попадает в специальный кристалл, где он многократно усиливается с помощью параметрического резонанса.